通过文献 MR1503247
中的方法研究了范数可由内积诱导的充要条件.
Def
范数
设 是数域 上的线性空间, 映射
若满足
则称 是 上的一个范数.
内积
设 是数域 上的线性空间, 映射 若满足 则称 是
上的一个内积.
内积诱导的范数
定义 , 则
是 上的一个范数, 称为内积 诱导的范数.
Theorem
平行四边形法则
上的范数 可由内积诱导的一个充要条件是
上述等式称为范数的平行四边形法则.
Proof
以下取 .
若存在内积 使得
, 则 , 必要性得证.
只需证明满足平行四边形法则的范数可以定义出相应的内积.
定义映射 满足 容易看出 满足内积的性质
和 . 接下来证明 满足内积的性质 .
在文献 MR1503247
中，利用平行四边形法则， , 即 在 式中, 令 得到 (注意到 式隐含了 ). 在
式中, 记 得到 从而 剩下的只需证明 .
令 ,
显然 , 进而根据 式有 . 任取非 0 整数
, 于是 , 进而 . 根据范数满足的性质 有 即
是连续映射, 从而 关于
都是连续的. , 得到 . 最后根据 得到
.
综上, 是 上的一个内积, 只需验证 可以诱导出范数 . 根据 有 即 .