将内积用二次型表示，得到了CBS不等式以及取得等号的充要条件.
Def
半内积
设 是数域 上的向量空间, 定义 上的半内积 满足:
CBS不等式
等号成立的充要条件是存在不全为 0 的数 使得 .
Proof
根据半内积的定义, , 为叙述方便, 记 下面利用二次型研究CBS不等式, 存在两种情况:
(1). 方程 没有非零解,
此时 是正定矩阵,
等价于所有顺序主子式大于 0 .
(2). 方程 存在非零解,
等价于 .
综合上述分析, 我们有 并且取等号的充要条件是 存在非零解, 即存在不全为 0 的数 使得